ÁGORA por Carin

A mediados del siglo XX, los fundamentos de la matemática fueron conmovidos por el matemático, filósofo y escritor británico Bertrand Russell.

A través de las reflexiones lógicas de Russell se problematiza la idea de conjunto que se encuentra en la base de toda la matemática. Sin embargo, antes de él, no existía una definición y sistematización adecuada de la categoría de conjunto.

Inicialmente se puede definir a un conjunto como una colección de objetos. La pregunta consiguiente es si cualquier colección de objetos es un conjunto� La respuesta de Russell es que no cualquier colección forma un conjunto. �sta idea, en términos abstractos, es algo compleja. La paradoja que subtiende dicha contradicción es lo que se conoce como Paradoja de Russell o Paradoja del Barbero.

En forma muy simple esta paradoja plantea la existencia de un barbero que sólo afeita a aquellos que no se afeitan a sí mismos. La pregunta que completa el cuadro es ¿Quién afeita al barbero? Si él se afeita a sí mismo, como él afeita a aquellos que no se afeitan a sí mismos entonces el pertenecería a aquellos que no se afeitan a sí mismos, es decir, se afeita si no se afeita. De igual manera, si él no se afeita a sí mismo, como afeita a aquellos que no se afeitan a sí mismos, entonces él es de los que se afeitan a sí mismos, es decir, no se afeita porque sí se afeita.

Como puede verse la idea puede ser poco clara, como lo es aún más en términos abstractos, pero la consecuencia de dicha paradoja es evidente: una contradicción. Y esto es posible ya que la idea de conjunto como â??cualquierâ? colección de objetos es inapropiada. Los conjuntos deben estar bien construidos para evita contradicciones de este tipo. En otras palabras, no cualquier colección de objetos puede ser considerada un conjunto.

De esto se concluye que con base en las relaciones de pertenencia y subconjunto, un conjunto puede ser subconjunto de sí mismo ya que todo elemento de un conjunto puede estar en el otro, pero no sucede lo mismo con la pertenencia a sí mismo, es decir, un conjunto no puede pertenecerse a sí mismo.

Corolario de esto es que el llamado universo de todos los conjuntos, es decir, la colección de todos los conjuntos, no es un conjunto.